안녕하세요!
라디온입니다.
이번 게시물에서는 대수경 41회 1번문제에
필요한 개념과 문제풀이 과정을 낱낱이 알아보는 과정을 가져보겠습니다.
이 게시물만 보고 1번문제를 풀 수 있도록 해보겠습니다.
수학의 매력에 빠질 준비가 되셨나요~~!!
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최종적으로 구해야 하는 건 무엇일까?
영역 D의 넓이와 광원으로부터 D를 xy평면에 사영시킨 넓이만 구하면
문제는 해결이 된다.
먼저 영역 D의 넓이를 구해보자.
구의 겉넓이를 구하는 문제이다. 구의 겉넓이 공식을 따로 외워도 당연히 좋지만
미소개념으로 구의 겉넓이 이중적분 공식을 알면 더욱더 알기쉽다.
구좌표계로 계산 해야 하므로 세타와 파이의 범위를 구해보자.
이제 영역 D의 넓이를 구해보자.
광원으로부터 D를 xy평면에 사영시킨 넓이를 d라고 했을 때
이제 머리속으로 상황을 상상해 보자
광원으로 부터 D를 xy평면에 사영하였을 때
그영역은 xy 평면에 놓인 부채꼴 넓이인걸 알 수가 있다. (구인 모습을 잘 생각해보자)
이제 작은 원의 반지름과 큰원의 반지름만 알면 d를 알 수가 있다.
이 때는 방향벡터와 직선의 매개변수 방정식을 이용하여 구할 수 있다.
먼저 광원(0,0,1)에서 다른점 (임의의 점) (x,y,z)까지의 방향 벡터를 구해보자.
계산하면 벡터(x,y,z-1)가 된다. 다시 상기시키면
이 벡터는 광원에서 출발하여 임의의 점 (x,y,z)로 향하는 방향을 나타낸다.
이제 광원에서 임의의 점까지 이어지는 직선을 정의하기 위해
직선의 매개변수 방정식을 구해보자
이때 xy평면에 사영하므로 z성분은 0임을 알 수가 있다.
우리의 작은 목표는 작은원 큰원의 반지름을 구하는 거였다
이 사영함수는 원래 구에 있는 영역 D의 좌표들을
광원으로부터 D를 xy평면에 사영하여 얻은 좌표들로 바꿔 주는 함수이다.
그러니까 자연스럽게 원래 구의 좌표를 구하고 이를 사영함수에 대입하여
작은원, 큰원의 반지름을 구하자!!로 경로를 설정할 수 있다.
원래 구의 좌표를 구하고 사영함수에 대입하여 나온 좌표까지 구해보자.
그럼이제 반지름들을 모두 알 수 있게 되었다.
이제 D를 xy평면에 사영시킨 넓이를 부채꼴 넓이 공식을 이용하여 구해보자
영역 D의 넓이와 광원으로부터 D를 xy평면에 사영시킨 넓이를 모두 구했으니깐
이제 몇배차이 나는지 최종답을 구하자.
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이로써 제 2분야 41회 대수경 1번 문제 풀이를 마치겠습니다
궁금한 점이나 질문 있으시면 댓글 남겨 주세요
감사합니다!