이번 게시물에서는 행렬의 연산과 곱을 하기전 헷갈리는 부분들을 정리를 해보겠습니다.
예를 들어 동차연립일차방정식에서 자명한 해를 가진다면 같은 식을
비동차연립일차방정식으로 바꾸었을 때
유일한해를 가지는지
무수히 많은 해를 가지는지
해가 없는지에 대해 정확히 서술해 보겠습니다.
간단한 용어 설명부터 해보자면
(학교시험이 영어로 나올 수 있기에 영어표현에 익숙해 지는게 좋습니다)
방정식(equation)은 미지수(unknown)을 포함하는 등식이고
방정식의 모든해를 모아놓은 집합을 방정식의 해집합(solution set)라고 합니다.
유한개의 일차방정식의 모임을 연립일차방정식(system of llinear equations)라고 하고
동일한 해집합을 갖는 두 연입일차방정식을 동치(equivalent)라고 합니다.
해집합의 유형
첨가행렬(augmented matrix)란
연립일차방정식의 계수들을 모두 적은 것을 의미한다.
=을 기준 우변숫자도 포함시킨다는 걸 알아햐한다.
행 사다리꼴과 기약 행 사다리꼴
행 사다리꼴(Row-Echelon Form or REF)은 다음과 같은 3가지 조건을 만족한다.
1.성분이 모두 0인 행이 존재하면 그 행은 첨가행렬의 맨 아래에 위치한다.
2.각 행에서 처음으로 나타나는 0이 아닌 성분은 1이다. 이때 1은 그 행의 선행성분(leading entry)이라고 한다.
3.i 번째 행과 (i+1)번째 행 모두에 선행선분이 존재하면
(i+1)번째 행의 선행성분은 i번째 행의 선행선분보다 오른쪽에 위치한다.
여기서 추가로 하나의 조건만 만족하면 기약 행 사다리꼴(Reduced Row-Echelon Form or RREF)라고 한다.
+.어떤 행의 선행성분을 포함하는 열의 다른 계수는 모두 0이다.
따라서 기약 행 사다리꼴은 행 사다리꼴이라고 할 수 있지만 행 사다리꼴을 기약 행 사다리꼴이라고 할 순 없다.
기본 식 연산과 기본 행 연산
기본 식 연산은 방정식에 직접 적용하고
기본 행 연산(elementary row operation)은 행렬에 적용한다는 점에서 차이가 있다.
기본 행 연산은 세가지 방법이 있다.
첨가행렬A에 기본 행 연산을 시행하여 얻은 첨가행렬을 B라 하면 A와 B는 행동치(row equivalent)라고 한다.
가우스 소거법(Gaussian elimination)은 첨가행렬을 기본 행 연산을 통해 REF로 만드는 과정을 말한다.
가우스-조르단 소거법(Gauss-Jordan elimination)은 첨가행렬을 기본 행 연산을 통해 RREF로 만드는 과정을 말한다.
행사다리꼴과 기약 행사다리꼴에 대해 3가지 사실
1.모든 행렬은 유일한 기약 행 사다리꼴이 있다. 즉 가우스-조르단 소거법을 사용하든 다른 기본 행연산을 이용하든 관계없이 마지막에는 같은 기약 행사다리꼴을 갖게 된다.
2.행사다리꼴은 유일하지 않다. 즉 기본 행연산의 순서가 다르면 다른 행사다리꼴이 나온다.
3.행사다리꼴이 유일하지는 않지만 행렬 A의 모든 행사다리꼴은 같은 수의 모든 원소가 0인 행을 갖고
항상 1도 같은 위치에 나타난다.
동차연립일차방정식
=을 기준으로 우항이 0인 연립일차방정식을 동차(homogeneous)라고 한다.
0이 아닌 다른 숫자가 오면 비동차(nonhomogeneous)라고 한다.
동차연립일차방정식은 2가지 경우의 해집합 유형을 가진다.
자명하지 않은 해 즉 해가 모두 0이 아닌 경우는 왜 무수히 많은 해를 가진다는 말과 같을까?
동차 연립방정식에서 자명하지 않은 해가 나올 때는 y=2x와 같이 특정한 값이 나오지 않고
매개변수를 이용해서 해답을 표시하는 경우이다.
따라서 자명하지 않은 해가 나온다는 건 무수히 많은 해를 가진다 라는 의미와 같다.
또한 이렇게 위에 그림과 같은 도식도로 정리 할 수 있다.
그렇기에 동차의 해집합 유형을 알고 비동차를 구하는 풀이 과정이 납득이 될 수 있다.
질문있으시면 답글 달아 주세요
긴 글 읽어주셔서 감사합니다~